Question

试求函数f(x)=sinx+cosx+2asinxcosx,在x∈[0，π/2]上的最小值h(a)

帮帮忙,真的很急

Answer 1

先求导：f'(x)=cosx-sinx+2acos²x-2asin²x
=cosx-sinx+2a(cosx-sinx)(cosx+sinx)
=2a(cosx-sinx)(cosx+sinx+1)
因为在【0，π/2】上，cosx sinx都>1,所以它们相加再加1不可能等于0，所以是cosx-sinx=0,即cosx=sinx,此时x=π/4
当a=0时，最小值在x=0或x=π/2时取得，为1。
当a<0时，当x<π/4时，f'(x)<0,递减
当x>π/4时，f'(x)>0,递增
将x=π/4代入原式f(x)即为此时的最小值h(a)=√2+a
当a>0时，x=π/4是最大值，所以最小值在x=0或x=π/2时取得
此时h(a)=1
综上，……

还有什么不清楚的可以交流哦~~~~

Answer 2

令sinx+cosx=√2sin（π/4+x）=t∈【0,√2】

（sinx+cosx）^2=1+2sinxcosx

f(x)=t+a*（t^2-1)
=at^2+t-a
=a(t+1/2a)^2-5/4a

a>0时 显然t=0时有最小值h（a）=-5/4a
a=0时 f（x）=t 最小值h（a）为-√2
a<=0时 对称轴t=-1/2a>0

当-1/2a< √2/2时，即a<-√2 /2 t取,√2时有最小值=a+√2
当-1/2a>√2/2时 即a>-√2/2 t取0时有最小值=-a

以上