Question

若直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0交于M.N两点,且M,N关于y=x对称，动点p（a,b）

若直线y=kx+1与圆x^2+y^2+kx+my-4=0交于M.N两点,且M,N关于y=x对称，动点p（a,b）在不等式组1.kx-y+2＞=0
2.kx-my＜=0
3.y＞=0
表示的平面区域及边界上运动，则b-2/a-1的取值范围是多少？（写过程）

Answer 1

解： x^2+y^2+kx+my-4=0 可化为
（x+k/2）^2+(y+m/2)^2=4+(k^2+m^2)/4

因为 M,N关于y=x对称，
所以 直线MN（即直线y=kx+1）的斜率为-1
即 k=-1
又圆心（-k/2，-m/2）在y=x上
所以 k=m=-1

不等式组可化为
1.x+y-2<=0
2.x-y>=0
3.y＞=0

表示的区域为点（0,0），（1,1），（2,0）所成的三角形
又
(b-2)/(a-1)表示过点（a，b），（1,2）的直线的斜率 （图自己画）

由图知
（0-2）/（2-1）<= (b-2)/(a-1) <=(0-2)/(0-1)
即 -2<=(b-2)/(a-1)<=2

Answer 2

P,Q两点关于直线X+Y=0对称，则直线PQ与直线x+y=0垂直，斜率为1，
所以直线Y=KX+1实为y=x+1.
由平面几何知识可知，圆心(-k/2,-m/2)在线段PQ的垂直平分线上，
所以圆心在直线x+y=0上，-k/2-m/2=0,k=-m
由图可知，k>0，直线kx-my<0就为x-y<0
所求面积的区域就是直线y=x+1,x=y=0以及x轴所围。
直线y=x+1与x轴交于点(-1,0),
所围区域就是斜边长为1的等腰直角三角形，
面积是1/4