Question

f（x,y）=xy（a-x-y）求该函数的极值

Answer 1

首先可以用常规方法做，f(x,y)＝axy－x²y－xy²然后分别对x和y求偏导数。

对x求偏导数：

ay－2xy－y²＝0。

对y求偏导数：

ax－2xy－x²＝0。

两个式子相减得到：

ay－ax－y²＋x²＝0。

(a－y－x)(y－x)＝0。

当a－y－x＝y－x＝0时不满足方程组。

所以分两种情况。

(1)y－x＝0时。

代入原方程组得到x＝y＝a/3。

(2)a－y－x＝0时，解得x＝0，y＝a或者x＝a，y＝0。

这个时候要判断偏导数等于0的二阶偏导数的情况。

先对x再对x求偏导是－2y。

先对x再对y求偏导是a－2x－2y。

先对y再对x求偏导是a－2x－2y。

先对y再对y求偏导是－2x。

判断对应△的正负号

第一种情况△＞0

当a＞0，－2y＜0，是极大值点，当a＜0

－2y＞0，是极小值点。

第二种情况△＜0，一定不是极值点，所以：

a＞0极大值是a³/27，a＜0极小值是a³/27。

相关内容解释

函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数.

简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

首先可以用常规方法做，f(x,y)＝axy－x²y－xy²然后分别对x和y求偏导数，
对x求偏导数，
ay－2xy－y²＝0，
对y求偏导数，
ax－2xy－x²＝0
两个式子相减得到，
ay－ax－y²＋x²＝0，
(a－y－x)(y－x)＝0，
当a－y－x＝y－x＝0时不满足方程组，
所以分两种情况，
(1)y－x＝0时
代入原方程组得到x＝y＝a/3，
(2)a－y－x＝0时，解得x＝0，y＝a或者x＝a，y＝0，
这个时候要判断偏导数等于0的二阶偏导数的情况
先对x再对x求偏导是－2y，
先对x再对y求偏导是a－2x－2y，
先对y再对x求偏导是a－2x－2y，
先对y再对y求偏导是－2x
判断对应△的正负号
第一种情况△＞0，
当a＞0，－2y＜0，是极大值点，当a＜0
－2y＞0，是极小值点。
第二种情况△＜0，一定不是极值点，所以
a＞0极大值是a³/27，a＜0极小值是a³/27

追答

y－x＝0时还有一个解x＝y＝0，这一点的△＜0，不是极值点。