Question

这是一道高中立体几何证明题，请看图片上的问题？

Answer 1

答：先回答你提的问题，你把直棱柱的关系用反了，应该是侧棱⊥(上、下)底面，而不一定是底边⊥侧棱；只有底面为直角三角形时,才可以运用你的方法;而题面的已知条件没有明确说明底面是直角三角形之前，是不可以人为定义为直角三角形的，所以，你的方法不可以用。这样证明违反逻辑关系。

证明：见下图,图中黑色线为实线，红色线为原图中的虚线，蓝色线为辅助线。

(1)因为AC=4, AB=5,cos∠CAB=4/5=AC/AB, 所以AB边所对的∠ACB是直角，所以AC⊥BC；因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，C1C⊥AC (AC∈面ABC)，所以AC⊥平面BB1C1C（AC⊥平面BB1C1C内的两条相交直线),所以，AC⊥BC1。

(2)设B1C和BC1相交于E，连结DE，因为BB1C1C是矩形，所以E是BC1的中点，而D是AB的中点，所以DE是△BC1A中AC1边的中位线，所以AC1//DE，DE∈平面CDB1，所以AC1//平面CDB1。

（3）请看6面体图形。把四面体A1-CDB1扩大一倍到A1-CPB1，根据勾股定理定理BC=3，因为AA1=3，所以A1APP1是正方形，则对角线A1P=B1C=3√3，A1B1=B1P=A1C=CP=5；作CF⊥A1P于F，连结B1F，因为F是A1P边的中点，所以B1F⊥A1P，∠CFB1为平面B1CP和平面CA1P的二面角。CF=B1F=√[5^2-(3√2)^2=√25-9/2=√(59/2); 根据余弦定理：

cos∠CFB1=[2*59/2-(3√2)^]/(2*59/2)=41/59, sin∠CFB1=√1-(41/59)^2=√(18/59);

VA1-CDB1=(1/3)A1F*B1F*CF*sin∠CFB1=(1/3)(3√2)(59/2)*√(18/59)=3√59。

Answer 2

不能用你说的方法来证明AC丄BC1。道理是: ①AC丄平面BCC1B1本身这个结论需要证明，不可直接用，证明过程要利用题中给的数据先证明三角形ABC是直角三角形，得出AC丄BC，再利用直三棱柱的条件得出AC丄C1C，即可得出结论；②题中直三棱柱的条件只能得出侧面垂直于底面，还可得出C1C丄平面ABC，B1B丄平面ABC，但不能据此得出AC垂直于平面BCC1B1，也不能据此得出AC垂直于平面BCC1B1。

Answer 3

你这跳步骤了，最后还是要用你那个证明，但是前提你得先证明①AC⊥平面BB'C'C，①是未知条件。（要注意直三棱柱是侧边垂直底面）
具体的证明方法：∵BB'⊥面ABC且AC包含于面ABC，∴BB’⊥AC，
又∵cos∠CAB=4/5=AB:AC ,∴∠ACB=90°，所以AC⊥BC，
又∵BB'，BC都在面BB'C'C上，且BB'，BC相交于B点，∴AC⊥平面BB'C'C。
后面就是你写的那样子啦。

Answer 4

直三棱柱，是说测面垂直底面，不是说底面是直三角形
所以你由直三棱柱ABC-A1B1C1推出AC垂直面BCC1B1是不行滴。。

Answer 5