Question

急！！！一道高中数学题！！

设椭圆C:x2/a2+y2/2=1(a>0)的左,右焦点分别为F1,F2，A是椭圆C上一点，且向量AF2·向量F1F2=0，坐标原点O到直线AF1的距离为1/3OF1
（1）求椭圆C的方程
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线L交x轴于点P（-1,0），交y轴于点M，若向量MQ=2向量QP，求直线L的方程

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Answer 1

解：
1.设O点到直线AF1的距离为ON
向量AF2*向量F1F2=0
AF2⊥F1F2
∴∠AF2F1=∠ONF1
∠AF1F2=∠AF1F2
∴F1NO∽F1F2A
∴ON/AF2=OF1/AF1
即：AF2/AF1=ON/OF1=1/3…………(1)
∵AF2+AF1=2a………(2)
在Rt△AF1F2中 有：
F1F2^2+AF2^2=AF1^2
∴√AF1-√AF2=√F1F2=2c=2√(a^2-b^2)=√(a^2-2)………(3)
联立(1)(2)(3)得:
a^2=4 又a>0
∴a=2
∴椭圆的方程为x^2/4+y^2/2=1
2.设Q(x,y) M(0,y1)
P(-1,0)
则向量MQ=(x,y-y1)
向量QP=(-1-x,-y)
∵向量MQ=2向量QP
∴x=2(-1-x)
解得：x=-2/3
由于Q在椭圆上 把x=-2/3代入椭圆方程得到y^2=4/9
∴y=2/3或-2/3
即Q(-2/3,2/3)或(-2/3,-2/3)
则kPQ=(2/3-0)/(-2/3+1)=2或(-2/3-0)/(-2/3+1)=-2
所以方程为y-0=2(x+1)或y-0=-2(x+1)
即直线方程为2x-y+2=0或2x+y+2=0

Answer 2

向量AF2·向量F1F2=0 =》 AF2垂直于F1F2

坐标原点O到直线AF1的距离为1/3OF1 =》 AF2 = 1/3 AF1

这样有了AF2与AF1的关系就可以求出系数a了，具体求解自己做咯～

第二步

p（-1，0） 向量MQ=2向量QP =》 Q的x坐标为2，带入椭圆方程，求出Q的y坐标，P和Q 都知道了，那么直线l就可以求了

Answer 3

(1)
F1(-c,0),F2(c,0)，A(x1,y1), c=sqrt{a^2-2}.
向量AF2·向量F1F2=0 ==> AF2垂直F1F2 ==> x1=c,
A在椭圆上， ==> y1=2/a 或 y1=-2/a .
原点O到直线AF1的距离为1/3OF1 ==> sin(角AF1F2)=1/3
==> tan(角AF1F2)=sqrt{2}/4.
在直角三角形AF1F2中， tan(角AF1F2)=|AF2|/|F1F2|=(2/a)/(2c).
==> sqrt{2}/4=1/ac. ==> a=2.
椭圆C的方程 x^2/4+y^2/2=1.
(2)
L; y=k(x+1), (点斜式，k待定)， Q(x2,y2), M(0,k),
因为 向量MQ=2向量QP，所以 |MQ|=2|QP|，且直线MQ，QP斜率相等。
即 x^2+(y2-k)^2=4[(x2+1)^2+(y2)^2], (y2-k)/x2=y2/(x2+1). ---(*)
Q在椭圆上，(x2)^2/4+(y2)^2/2=1. ---(**)
联立(*)(**)，解得
{k=0, x2=-2, y2=0}或{k=4, x2=-2/3, y2=4/3}或{k=-4, x2=-2/3, y2= 4/3}.
直线L的方程; y=0, 或y=4(x+1)或 y=-4(x+1).