Question

高数题，求y''=(y+1)y'的通解，要过程哦！谢谢

Answer 1

令y'=p,
则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
带入方程
pdp/dy=(y+1)p
分离变量，各自积分
∫dp=∫(y+1)dyp=1/2y^2+y+c1/2
即：dy/dx=1/2y^2+y+c1/2
分离变量各自积分
∫dy/(1/2y^2+y+c1/2)=∫dx
∫dy/((y+1)^2+c1-1)=∫2dx
当c1>1时，积分为
=1/√(c1-1)∫dy/([(y+1)/√(c1-1)]^2+1)=∫2dx
1/√(c1-1)*arctan[(y+1)/√(c1-1)]=2x+c2
当c1<1时，积分为=
∫dy/((y+1+√(1-c1))((y+1)-√(1-c1)))=∫2dx
1/(2√(1-c1)*ln|(y+1-√(1-c1))/(y+1+√(1-c1))|=2x+c2
当c1=1时，
∫dy/(y+1)^2=∫2dx
则-1/(y+1)=2x+c2