Question

已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调...

已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）． ①f（x）的单调减区间是(23，2)； ②f（x）的极小值是-15； ③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a） ④函数f（x）满足f(23-x)+f(23+x)=0 其中假命题的个数为（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个

Answer 1

解：∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴f′（x）=3x2-4x-4，
令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x 1=-
2
3
，x2=2．
列表讨论
x
（-∞，-
2
3
）
-
2
3
（-
2
3
，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
-
0
-
0
+
f（x）
↓

↓
极小值
↑
∴减区间为（-∞，2]，增区间为[2，+∞），
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x3-2x2-4x-a3+2a2+4a-（3a2-4a-4）（x-a）
=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴函数f（x）不满足f(
2
3
-x)+f(
2
3
+x)=0，
故④不正确，
故选C．