Question

观察下列等式：9-1=2×4，16-4=3×4，25-9=4×4，36-16=5...

观察下列等式：9-1=2×4，16-4=3×4，25-9=4×4，36-16=5×4，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n表示自然数，请猜想出这个规律，用含n的等式表示出来，并加以证明．

Answer 1

解：将等式进行整理得：
32-12=4（1+1）；
42-22=4（2+1）；
52-32=4（3+1）；
…
所以规律为：（n+2）2-n2=4（n+1）．
证明：左边=n2+4n+4-n2=4n+4，
右边=4n+4，
左边=右边，
所以（n+2）2-n2=4（n+1）．