Question

设a,b,c是互不相等的三个实数，如果A(a,a^3),B(b,b^3),C(c,c^3)在同一直线上，求证：a+b+c=0

设a,b,c是互不相等的三个实数，如果A(a,a^3),B(b,b^3),C(c,c^3)在同一直线上，求证：a+b+c=0

Answer 1

因为A,B和C在同一条直线上，我们取任意两点，所得到的斜率应该一样的，不妨取A,C 和 A,B 来计算斜率
由A,C算得的斜率为 k1=(c^3-a^3)/(c-a)
由A,B算得的斜率为 k2=(b^3-a^3)/(b-a)
因为k1=k2，所以
(c^3-a^3)/(c-a)=(b^3-a^3)/(b-a)……①
由立方差公式
c^3-a^3=(c-a)*(c^2+c*a+a^2),我们可以知道(c^3-a^3)/(c-a)=c^2+c*a+a^2
因此，由①得
c^2+c*a+a^2=b^2+b*a+a^2
c^2-b^2=b*a-c*a
(c-b)*(c+b)=(b-c)*a
c+b=-a
a+b+c=0 证毕

Answer 2

(a^3-b^3)/(a-b)=(b^3-c^3)/(b-c)=(c^3-a^3)/(c-a)

即a^2+b^2+ab=b^2+c^2+bc=c^2+a^2+ac

故a^2+ab=c^2+bc ①
b^2+bc=a^2+ac ②
b^2+ab=c^2+ac
②即为a^2+ac=b^2+bc ③

①-③得a（b-c）=c^2-b^2=(c-b)(c+b)
由于b不等于c 故a=-c-b
即a+b+c=0