Question

设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4

（1）当a=3，且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间并判断函数是否有极值
（3）若f(x)在(-∞，+∞)无极值点，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=ax^2+2bx+c

f'(x)-9x=0,即ax^2+2bx+c-9x=0，得ax^2+（2b-9）x+c=0，

x1+x2=5=（9-2b）/a，x1x2=4=c/a

1）、当a=3，时f(x）过原点，则d=0
9-2b=5*3，得b=-3，
4=c/3，得c=12

所以f（x）=x^3-3x^2+12x

2)、f'(x)=3x^2-6x+12
令f'(x)=0时，无解，就是说无驻点

所以此函数无极值点

3）、若f(x)在(-∞，+∞)无极值点，则f’(x)=ax^2+2bx+c=0时无解即可

因为b=（9-5a）/2，c=4a，代入f’（x）=0，得

ax^2+（9-5a）x+4a=0

delta=（9-5a）^2-4*a*4a<0

得1<a<9