函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+cx+d,且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4
(1)当a=-2,且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式(2)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围...
(1)当a=-2,且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式(2)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围
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(1)曲线y=f(x)过原点,有d=0
a=-2.f'(x)=-2x^2+2bx+c
f'(x)-9x=0,即-2x^2+(2b-9)x+c=0的两个根为1,4,有
-2+(2b-9)+c=0
-32+(2b-9)*4+c=0
解得b=19/2 c=-8
f(x)=(-2/3)x^3+19/2 *x^2-8x
(2)f'(x)=ax^2+2bx+c,f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4,即ax^2+(2b-9)x+c=0的解为1,4
根据2根式有(9-2b)/a=1+4=5,得b=(9-5a)/2
c/a=1*4=4,得c=4a
f(x)在(-∞,+∞)无极值点,即f'(x)=ax^2+2bx+c=0在(-∞,+∞)上无解
有delta=(2b)^2-4ac<0
即(9-5a)^2-4a*4a=(9-5a+4a)(9-5a-4a)=(a-9)(9a-9)<0
得1<a<9
a=-2.f'(x)=-2x^2+2bx+c
f'(x)-9x=0,即-2x^2+(2b-9)x+c=0的两个根为1,4,有
-2+(2b-9)+c=0
-32+(2b-9)*4+c=0
解得b=19/2 c=-8
f(x)=(-2/3)x^3+19/2 *x^2-8x
(2)f'(x)=ax^2+2bx+c,f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4,即ax^2+(2b-9)x+c=0的解为1,4
根据2根式有(9-2b)/a=1+4=5,得b=(9-5a)/2
c/a=1*4=4,得c=4a
f(x)在(-∞,+∞)无极值点,即f'(x)=ax^2+2bx+c=0在(-∞,+∞)上无解
有delta=(2b)^2-4ac<0
即(9-5a)^2-4a*4a=(9-5a+4a)(9-5a-4a)=(a-9)(9a-9)<0
得1<a<9
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