Question

设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4

若f(x)在(-∞，+∞)无极值点，求a的取值范围。

Answer 1

f'(x)=ax²+2bx+c
由题意知,f'(1)=9.f'(4)=36
即,a+2b+c=9,16a+8b+c=36
解得:c=4a,b=(9-5a)/2
因为f(x)在(-∞，+∞)无极值点,且a>0
所以f'(x)≥0恒成立
即Δ=4b²-4ac≤0,代入解得1≤a≤9

追问

为什么f'(x)≥0恒成立，f'(x)≤0时不可以吗 且a>0
所以f'(x)≥0恒成立？？？

Answer 2

解：f'(x)=ax²+2bx+c ax²+(2b-9)x+c=0 时x1=1,x2=4 ∴-(2b-9)/a=1+4 c/a=1*4
∴b=(9-5a)/2 c=4a
∵f(x)无极值点，∴f'(x)=ax²+2bx+c =0 无实根 ∴4b²-4ac<0
∴(9-5a)²-16a²<0 9a²-90a+81<0 解得： 1<a<9 a∈(1,9)

追问

可答案是1≤a≤9