Question

矩阵a的秩小于n(n是未知数的个数),为什么a的列向量组线性相关?

Answer 1

设a是m×n矩阵，ab=0且b非零，说明线性方程组ax=0有非零解，则r(a)由于r(b)=r(b^t)，同理可由ab=0（即(b^t)(a^t)=0）且a非零，得出b的行向量组线性相关。

线代的最核心方法就是用秩去刻画问题，秩在方程组的解的判定，向量组的线性相关无关，向量组的线性表示问题，向量组的极大线性无关组的判定，向量组的等价和矩阵等价的判断，齐次线性方程组的基础解系问题，一个特征值对应几个线性无关的特征向量，方阵能否对角化等等问题都要用到，秩没学好，线代寸步难行！

注意事情：

矩阵指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，由19世纪英国数学家凯利首先提出。它是高等代数学中的常见工具，其运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。