Question

数学不等式问题

a,b,c为任意实数，求证不等式
1\a^4+1\b^4+1\c^4+a^2+b^2+c^2》2(1\a+1\b+1\c)

Answer 1

整理得：
(1\a^4+a^2)+(1\b^4+b^2)+(1\c^4+c^2)>=2(1\a^4*a^2)^1/2+2(1\b^4*b^2)^1/2+2(1\c^4*c^2)^1/2=2(1\a+1\b+1\c)
当且仅当1\a^4=a^2；1\b^4=b^2;1\c^4=c^2时等号成立；
即：a=b=c=+1、-1
所以上式不等式恒成立～

Answer 2

因为
1/a^4+a^2-2/a = (1/a^2-a)^2 >= 0；
1/b^4+b^2-2/b = (1/b^2-b)^2 >= 0；
1/c^4+c^2-2/c = (1/c^2-c)^2 >= 0；
所以
(1/a^4+a^2-2/a)+(1/b^4+b^2-2/b)+(1/c^4+c^2-2/c)
=(1/a^2-a)^2+(1/b^2-b)^2+(1/c^2-c)^2
>=0
因此 1/a^4+1/b^4+1/c^4+a^2+b^2+c^2>=2(1/a+1/b+1/c).

Answer 3

注意如下局部不等式：
1/a^4+a^2>=2/a
1/b^4+b^2>=2/b
1/c^4+c^2>=2/c
相加即得。。

Answer 4

1\a^4+1\b^4+1\c^4+a^2+b^2+c^2-2(1\a+1\b+1\c) =（1\a^4-2*1\a+a^2）+（1\b^4-2*1\b+b^2）+(1\c^4-2*1\c+c^2）=(1/a^2-a)^2+(1/b^2-b)^2+(1/c^2-c)^2>=0
所以1\a^4+1\b^4+1\c^4+a^2+b^2+c^2》2(1\a+1\b+1\c)
成立

Answer 5

利用 a^2+b^2=(a-b)^2+2ab>=2ab
1\a^4+a^2>=2/a