Question

求助两道数学证明题

1.若a＞b＞c，求证1/a-b+1/b-c≥4/a-c

2.已知a、b是不等正数，且a³-b³=a²-b²（a3-b3=a2-b2），求证1＜a+b＜4/3

Answer 1

（1/A-B+1/B-C）*(A-B+B-C)=2+(B-C)/(A-B)+(A-B)/(B-C)>=4
(B-C)/(A-B)+(A-B)/(B-C)>=2
所以1/a-b+1/b-c≥4/a-c
B-C=A-B时等号成立，即2B=A+C

分式因解a^3-b^3=a^2-b^2 得
(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)(a+b)
因为a不等于b两边，所以
a^2+ab+b^2=a+b
移项得
(a+b)^2-(a+b)=ab<(1/4)*(a+b)^2
设t=a+b，得
3t^2-4t<0
解不等式得
0<t<4/3，即a+b<4/3
又a^2+ab+b^2＝a+b，化简后得
（a+b)(a+b-1)=ab
a+b-1=ab/(a+b)>0,所以a＋b>1

综上，1<a+b<4/3

Answer 2

楼主发题有点小毛病，括号没加，
[(a-b)+(b-c)]^2≥4(a-b)*(b-c)
(a-c)^2≥4(a-b)*(b-c)
(a-c)≥4(a-b)*(b-c)/(a-c)
because: a-b>0 b-c>0
so: (a-c)/(a-b)(b-c)≥4/(a-c)
(a-b+b-c)/(a-b)(b-c)≥4/(a-c)
得出1/（a-b）+1/（b-c）≥4/（a-c）

Answer 3

1.逆推法。
要证明1/a-b+1/b-c≥4/a-c
通分即证（a-c）/(a-b)(b-c)≥4/a-c
a＞b＞c，所以a-c,a-b,b-c均为正。
即证（a-c）^2≥4(a-b)（b-c）

这样就好办了。
（a-c）^2-4(a-b)（b-c）=（（a-b）-(b-c)）^2≥0
所以倒回去写就行了。

2.因式分解a³-b³=(a-b)（a²+ab+b²）
a³-b³=a²-b²,即(a-b)（a²+ab+b²）=(a-b)(a+b)
所以a²+ab+b²=a+b
利用不等式关系a²+b²≥2ab求解。
ab>0,所以a+b=a²+ab+b²<a²+ab+b²+ab=(a+b)²
a+b>0,消去a+b，得到a+b>1
a、b不等，利用（a+b）²≥4ab求解。
所以-ab≥-（a+b）²/4
a+b=a²+ab+b²=(a+b)²-ab<=(a+b)²-（a+b）²/4=3(a+b)²/4
即a+b<=(a+b)²3/4
消去a+b，得a+b<4/3
所以1＜a+b＜4/3