Question

已知|m|<1,直线L1:y=mx+1,L2:x=-my+1,L1与L2交于点P

1.已知|m|<1,直线L1:y=mx+1,L2:x=-my+1,L1与L2交于点P，L1交y轴于点A，L2交x轴于点B，（1）求A B P的坐标 (2)用m表示三角形ABP的面积S (3)当m为何值时，S最大，并求最大值 （4）求P点的轨迹坐标

Answer 1

观察一下题目，发现L1的斜率为m,L2的斜率为-1/m，m*(-1/m)=-1，故L1垂直L2。

显然A的坐标为(0,1),B的坐标为(1,0)
联解L1和L2方程式，得P点坐标(1-m/(1+m^2),1+m/(1+m^2))

由于L1垂直L2，交点P，所以ABP的面积S=AP*BP/2
代入上面的坐标，有
S=（1-m）/√(1+m^2)*（1+m)/√(1+m^2)*1/2=(1-m^2)/2

m=0时，S最大，S=1/2

由于L1与L2始终垂直，那么APM恒为直角三角形，故P的运动轨迹为半圆（由于|m|<1所以P的轨迹是个半圆）
圆心在AB的中点上，半径为AB/2
AB中心坐标为(1/2,1/2),AB=√2
故P的轨迹方程式为 (x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2 （0<=y<=1/2+√2/2,0<=x<=1/2+√2/2)