Question

已知函数f(x)=a1x+a2x²+…+anxⁿ,a1,a2,a3,…an组成等差数列，其中n为正数，又有f(1)=n² 1

已知函数f(x)=a1x+a2x²+…+anxⁿ,a1,a2,a3,…an组成等差数列，其中n为正偶数，又有f(1)=n²
1)求an
(2)f(1/3)<1

Answer 1

1)
f(1)=a1+a2+...+an=n^2
a1+a2+...an-1=(n-1)^2
两式相减得 an=n^2-(n-1)^2=2n-1

2)
f(x)=x+3x^2+.......(2n-1)x^n
f(1/3)=1/3+3(1/3)^2+....(2n-1)(1/3)^n
1/3f(1/3)=(1/3)^2+3(1/3)^3+.....(2n-1)(1/3)^(n+1)
上两式相减得
2/3f(1/3)=1/3+2(1/3)^2+2(1/3)^3+.....2(1/3)^n-(2n-1)(1/3)^(n+1)
=1/3+2[(1/3)^2-(1/3)^(n+1)]/(1-1/3)-(2n-1)(1/3)^(n+1)
<1/3+2*(1/9)/(2/3)=1/3+1/3=2/3
f(1/3)<2/3*3/2=1