Question

为什么收敛级数一定是收敛的?

Answer 1

因为当n趋向无穷时，n分之一就趋向0。即它的通项趋向0，级数收敛（n分之一是例外，它为扩散）。
收敛级数的基本性质主要有：
级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；
两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；
在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；
原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；
级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。
扩展内容
收敛级数是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，条件收敛级数是指收敛但不绝对收敛的级数，级数本身收敛但不绝对收敛。其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。
收敛级数部分和序列的极限存在的级数，即有和的级数若干a的部分和序列。
当n->无穷时有有限的极限，则该级数称为收敛级数.收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类.其性质与有限和(有限项相加)相比有本质的差别。
参考资料来源搜狗百科-收敛级数