Question

求一道不等式的证明（数学竞赛）

设正实数abc 满足a+b+c=1 证明
10（a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)>=1
这题答案看不懂啊 貌似用什么恒等式 5次的我不懂啊
哪位高手能给个 分析 和 证明 有多种证法最好
你用的是其次化原则啊 能告诉我什么题目这样做吗
还有因式分解好难啊 经常不回分解能顺便教
一下吗

Answer 1

10（a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)>=1
即：10（a^3+b^3+c^3)*(a+b+c)^2-9(a^5+b^5+c^5)>=(a+b+c)^5
于是10（a^3+b^3+c^3)*(a+b+c)^2-9(a^5+b^5+c^5)-(a+b+c)^5
=15a^4*b+15a^4*c+15ab4+15b4c+15ac4+15bc4-30a2b2c-30a2bc2-30ab2c2
=15c(a2-b2)2+15b(a2-b2)2+15c(b2-c2)2
>=0
备注：a2bc2=a^2*b*c^2（偷懒了，呵呵）
这个题相减的结果很巧合啊，少了几步继续证明其相减的结果>=0的可能。

刚刚回答了，百度到现在也没刷新出来？？？
次数不一样，会比较难办，所以就先把3次的化成5次吧，然后前面的系数是10，后面的系数为9，正好可以把另一面的1移成5次方的，于是就变成了5次方的字母相减>=0，必定会是高次的-低次的平均的>=0（如：a5-a3b2-a2b3+b5>=0）。对于这类问题就有N种方法证明>=0了

另外，这个有助于你的因式分解，找找规律：
a5+b5>a4b+ab4>a3b2+a2b3>2*(ab)^(2.5)
类似于的问题，可以假设字母里面最小的是正实数b，有a>=b来做。当然也可以用课本上的各种公式来做，不过感觉a>=b的方法 实用超级广。
如：a5-a3b2-a2b3+b5=a3(a2-b2)-b3(a2-b3)>=b3(a2-b3)-b3(a2-b3)=0