Question

在△ABC中，当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB). (1)试判断△ABC的形状； （2）若角C的对边c=1，求该△内切圆半

(1)试判断△ABC的形状； （2）若角C的对边c=1，求该△内切圆半径的取值范围

Answer 1

解析：1）∵(cosA+cosB)sinC=sinA+sinB
∴cosA+cosB=(sinA+sinB)/sinC
即（b^2+c^2-a^2)/2bc+（a^2+c^2-b^2)/2ac
=(a+b)/c
a（b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)=2ab(a+b)
ab(a+b)+(a+b)c^2-(a+b)(a^2-ab+b^2)
=2ab(a+b)
c^2-a^2+ab-b^2=ab
c^2=a^2+b^2
∴△ABC是C=90°的直角三角形。
2）∵c^2=a^2+b^2=1
S△ABC=(a+b+c)r/2=ab/2
r=ab/(a+b+c)=ab/(a+b+1)
令a=sina,b=cosa,0＜a＜π/2
r=sinacosa/(1+sina+cosa)
=[(sina+cosa)^2-1]/2(1+sina+cosa)
=(sina+cosa-1)/2
=√2/2*sin(a+π/4)-1/2
∵0＜a＜π/2,∴π/4＜a+π/4＜3π/4
∴√2/2＜sin(a+π/4)≤1
∴0＜r≤(√2-1)/2