高中数学,关于不等式的题目
已知f(x)=x^2-2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15。过程最好能详细点~为什么...
已知f(x)=x^2-2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15。
过程最好能详细点~ 为什么 展开
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证明:f(x)=x²-2x+7.f(m)=m²-2m+7.两式相减得:f(x)-f(m)=(x-m)(x+m-2).===>|f(x)-f(m)|=|x-m|·|x+m-2|=|x-m|·|(x-m)+(2m-2)|.一方面,由题设可知,|x-m|<3.另一方面,由三角不等式|a+b|≤|a|+|b|可知,|(x-m)+(2m-2)|≤{x-m|+|2m-2|.且|2m-2|≤2|m|+2.故|(x-m)+(2m-2)|≤3+2|m|+2=2|m|+5.即有|x+m-2|≤2|m|+5.又|x-m|<3.两式相乘可得:|(x-m)(x+m-2)|<6|m|+15.即|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
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|f(x)-f(m)|=|x^2-m^2-2x+2m|
= |x-m||x+m-2|
< 3|x-m+2m-2|
<=3(|x-m|+|2m|+2)
< 3*3+6|m|+6
= 6|m|+15
= |x-m||x+m-2|
< 3|x-m+2m-2|
<=3(|x-m|+|2m|+2)
< 3*3+6|m|+6
= 6|m|+15
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|f(x)-f(m)|=|(x+m-2)(x-m)|
<|(x+m-2)||(x-m)|
<3|(x+m-2)|
<3(|x|+|m|+|2|)
<3(|m|+|3|+|m|+|2|)
=6|m|+15
<|(x+m-2)||(x-m)|
<3|(x+m-2)|
<3(|x|+|m|+|2|)
<3(|m|+|3|+|m|+|2|)
=6|m|+15
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