Question

二次函数综合题

已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1,在x轴上截得的线段长为4，并且过点C（-1,2）的直线交于点D（2，-3）。
（1）求这条抛物线与直线CD的解析式
（2）设此抛物线与x轴交于点A\B，且点A在点B左侧，如果点P在直线CD上，使△ABP是直角三角形，求点P的坐标
（3）若（2）中的角APB是锐角，求点P的横坐标的取值范围

Answer 1

1)因为对称轴是x=1,在x轴上截得的线段长为4,
所以抛物线与x轴交点为(-1,0),(3,0),
设抛物线y=a(x+1)(x-3),
(2,-3)代入,得,
a=1,
所以y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3,

直线CD:y=kx+b ,
(-1,2)(2，-3)代入,
k=-5/3,b=1/3
直线为y=-5x/3+1/3,

2)由上,得A(-1,0),B(3,0)
有四个点满足要求,
设P(x,-5x/3+1/3),对称轴交x轴于点O,O(1,0)
OP=AB/2,
√[(x-1)^2+(-5x/3+1/3)^2]=2
17x^2-14x-13=0,
(17x+13)(x-1)=0
x1=-13/17,x2=1,
P1(-13/17,82/51),P2(1,-4/3)
此时∠APB=90°,
若∠PAB=90,过A作x轴垂线,交直线与P3(-1,2),
若∠PBA=90,过B作x轴垂线,交直线与P4(3,-14/3),

3)若（2）中的角APB是锐角，求点P的横坐标的取值范围为x<-13/17,或x>1