Question

两道自主招生试题（数学）

1。lim(n趋向于正无穷）[（n+2)^(n+2) *n^n]/(n+1)^2(n+1）
2。已知an=(n+2)/[n!+(n+1)!+(n+2)!] 求an前100项的和S100。
请求高手帮忙！必重谢！

Answer 1

第一题答案是1。
可以将极限的后面这个式子变形，得到[(n+2)/(n+1)]^(n+1)·[n/(n+1)]^n·[(n+2)/(n+1)]，这整个式子求极限。
这三项分别都有极限，前两项主要运用了
lim(n趋向于无穷）(1+1/n)^n=e
的基本求极限公式。注意，条件是n趋向于无穷，就是说既包含了正无穷也包含了负无穷。
所以，前两项裂项可得
[1+1/(n+1)]^(n+1)，极限e
[[1+1/(-(n+1))]^(-n)]^(-1)，极限1/e
最后结合极限的运算法则分别求三项的极限再相乘即可。

第2题也可以用裂项法求和，先变性到
an=1/[n!·（n+2)]=(n+1)/(n+2)!
到这里一下子没了思路，但我琢磨着这题只能裂项，所以我尝试了下，碰巧上式就等于
1//(n+1)!-1/(n+2)!
所以答案就是1/2-1/102!

Answer 2

[n!+(n+1)!+(n+2)!]

Answer 3

2L已经给出正解，其实第一题就是一种极限的思想，当n趋近于无穷大的时候，n^n/(n+1)^2(n+1)其实就等价于1/n^n，再与上面的（n+2)^(n+2)相除，两式等价，结果就是1了，这是一种高等数学里面的极限思想，你可以试着想想看，想不通的话就采用2L的方法好了。
第二题一看就是有技巧的，试图裂项是一种思路，再去想办法，试图消掉上面的（n+2），下面提出n!合并为n!(n+2)^2,式子变成n+1/(n+2)!,再采用阶乘当中常用的裂项方法，化为1//(n+1)!-1/(n+2)!，答案就是1/2-1/102!，你可以试着两种方法比较比较，要记住自主招生的试题一般都是很灵活的，要懂得举一反三，加油~

Answer 4

1+1 ＝多少？