Question

已知函数f(x)=Inx-ax(a∈R) (1)求函数的单调区间 （2）当a大于0时，求函数f(x)在【1，2】上的最小值

Answer 1

不知导数学了没有

解：

1、当a=0时，f（x）=lnx，在整个定义域内是单调递增的，区间为（0，+∞）

2、当a≠0时
f'(x)=1/x -a
令f’（x）=0，得x=1/a，此点为函数的驻点，

1）当a>0时，（0，1/a）是单调递增区间，（1/a，+∞）单调递减区间

2）当a<0时，x<0,不在定义域内，故此时无驻点了，所以在（1，+∞）是单调递增的。

当a>0时，
1、x=1/a∈（0，1）时，区间【1，2】是单调递减的，故f（x）min=f（2）=ln2-2a
2、x=1/a∈【1，2】时，区间【1，2】上，f（1）=-a，f（2）=ln2-2a
1=>a>=ln2时，f（2）min=ln2-2a，
1/2<=a<ln2时，f（1）min=-a

3、x=1/a∈（2，+∞）时，区间【1，2】是单调递增的，故f（x）min=f（1）=-a

Answer 2

1）
因为原式含有lnx，所以x>0
先求导数，
f'(x)=1/x-a
当f'(x)=0时有极值
此时x=1/a
当x<1/a,f'（x）>0
所以在（0，1/a）,f(x)单调递增
当x>1/a，f'(x)<0
在（1/a,+∞），f(x)单调递减
2）
由1）问可得，f的最大值为f（1/a）

分情况讨论
1）当
1/a<=1,即a>=1
f(x)在【1，2】上单调递减，
最小值为f（2）
=ln2-2a

2）当
2>1/a>1,即1/2<a<1
在【1，1/a】上，
f（x）单增
最小值为f（1）
=-a
在(1/a,2】上，
f（x）单减
最小值为f（2）
=ln2-2a
这时比较两边（lna-2a和-a）大小即可
过程比较繁琐，但不复杂不列出
3）当
a<1/2
最小值为f（1）=-a