Question

两个矩阵的分解

问题1：已知矩阵A为埃尔米特矩阵和半正定矩阵，求矩阵B，使B满足：A等于B和B的共轭转置的乘积。（求解满足复数域）
问题2：已知矩阵A为向量B的自相关矩阵，求B。（求解满足复数域）

Answer 1

我用上标^H表示矩阵的共轭转置。

(1)
由于A半正定，所以存在酉矩阵U，使得
(U^H)(A)(U)=D
其中D为对角阵，D=diag(x1,x2,...,xn).
对角线元素为x1,x2,...,xn，全部大于等于0.

所以A=(U)(D)(U^H)

令S=diag(根号x1,根号x2,...,根号xn)

于是A=(U)(S^2)(U^H)
=(U)(S)(U^H)(U)(S)(U^H)
所以,所求的B就是(U)(S)(U^H)

(2)
A=(B^H)(B),其中B为行向量。
于是A^2=(B^H)(B)(B^H)(B)=||B||*A=tr(A)*A
所以f(x)=x^2-tr(A)x是矩阵A的一个化零多项式，f(x)没有重根说明A的最小多项式也没有重根，进而A可以对角化：

A=(U)(D)(U^H)
其中D为对角阵，D=diag(tr(A),0,0,...0)
令S=diag(根号tr(A),0,0, ...,0)
于是A=(U)(S^2)(U^H)
进而B就是:U的第一行*根号tr(A)