Question

函数fx=2lnx图像与函数gx=x^2-4x+6交点个数

函数fx=2lnx图像与函数gx=x^2-4x+6交点个数

Answer 1

答：
f(x)=2lnx，g(x)=x^2-4x+6=(x-2)^2+2>=2
设h(x)=g(x)-f(x)=x^2-4x+6-2lnx，x>0
求导：
h'(x)=2x-4-2/x
令h'(x)=2x-2/x-4=0
则：x-1/x-2=0
x^2-2x-1=0
(x-1)^2=2
x-1=±√2
x=1±√2
因为：x>0
所以：x=1+√2
当0<x<1+√2时，h'(x)<0，h(x)是减函数
当x>1+√2时，h'(x)>0，h(x)是增函数
x=1+√2时，h(x)取得最小值
h(1+√2)=(1+√2-2)^2+2-2ln(1+√2)
=2-2√2+1+2-2ln(1+√2)
=5-2√2-2ln(1+√2)
>5-3-2

=0
所以：h(x)>0在x>0时恒成立
所以：g(x)-f(x)>0，g(x)>f(x)恒成立
所以：f(x)和g(x)的图像没有交点

Answer 2

利用作图法
g(x)的顶点是（2,2）也是它的最小值
f(x)在x取到e（e>2的）时，才取到2，后面的增幅没有g(x)大

没有交点

Answer 3

0个 当x=2 fx值小于2，而gx值大于2已是gx的最小值，但是gx导数在大于2后大于fx的导数，说明gx大于2后函数的增长速率大于fx，则大于2后函数无交点，小于2时fx值不足2，函数显然无交点