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答:
f(x)=2lnx,g(x)=x^2-4x+6=(x-2)^2+2>=2
设h(x)=g(x)-f(x)=x^2-4x+6-2lnx,x>0
求导:
h'(x)=2x-4-2/x
令h'(x)=2x-2/x-4=0
则:x-1/x-2=0
x^2-2x-1=0
(x-1)^2=2
x-1=±√2
x=1±√2
因为:x>0
所以:x=1+√2
当0<x<1+√2时,h'(x)<0,h(x)是减函数
当x>1+√2时,h'(x)>0,h(x)是增函数
x=1+√2时,h(x)取得最小值
h(1+√2)=(1+√2-2)^2+2-2ln(1+√2)
=2-2√2+1+2-2ln(1+√2)
=5-2√2-2ln(1+√2)
>5-3-2
=0
所以:h(x)>0在x>0时恒成立
所以:g(x)-f(x)>0,g(x)>f(x)恒成立
所以:f(x)和g(x)的图像没有交点
f(x)=2lnx,g(x)=x^2-4x+6=(x-2)^2+2>=2
设h(x)=g(x)-f(x)=x^2-4x+6-2lnx,x>0
求导:
h'(x)=2x-4-2/x
令h'(x)=2x-2/x-4=0
则:x-1/x-2=0
x^2-2x-1=0
(x-1)^2=2
x-1=±√2
x=1±√2
因为:x>0
所以:x=1+√2
当0<x<1+√2时,h'(x)<0,h(x)是减函数
当x>1+√2时,h'(x)>0,h(x)是增函数
x=1+√2时,h(x)取得最小值
h(1+√2)=(1+√2-2)^2+2-2ln(1+√2)
=2-2√2+1+2-2ln(1+√2)
=5-2√2-2ln(1+√2)
>5-3-2
=0
所以:h(x)>0在x>0时恒成立
所以:g(x)-f(x)>0,g(x)>f(x)恒成立
所以:f(x)和g(x)的图像没有交点
TableDI
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利用作图法
g(x)的顶点是(2,2)也是它的最小值
f(x)在x取到e(e>2的)时,才取到2,后面的增幅没有g(x)大
没有交点
g(x)的顶点是(2,2)也是它的最小值
f(x)在x取到e(e>2的)时,才取到2,后面的增幅没有g(x)大
没有交点
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0个 当x=2 fx值小于2,而gx值大于2已是gx的最小值,但是gx导数在大于2后大于fx的导数,说明gx大于2后函数的增长速率大于fx,则大于2后函数无交点,小于2时fx值不足2,函数显然无交点
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