Question

高等代数问题 若把同构的子空间称作一类，则数域P上n维线性空间共分多少类

Answer 1

n+1类。
线性空间的同构也就是存在可逆变换连接两个空间。因为可逆变换是双射，而且还保持向量加法和数乘，所以可逆的线性变换是同构。

显然，如果把该变换限制在一个子空间上，那么可逆变换保持子空间的维数相等。
反过来，维数相等的子空间总是可以由一个可逆变换连接的。可以这样证明：设子空间V1的基是{a1,a2,...,ak}而子空间V2的基是{b1,b2,...,bk}。那么这两个空间的基分别可以拓展为整个n维空间的一组基{a1,a2,...,an}，{b1,b2,...,bn}。从{a1,a2,...,an}到{b1,b2,...,bn}有着唯一的一个线性变换f，也就是n维空间的自同构。这个线性变换f限制在{a1,a2,...,ak}上，就映射到{b1,b2,...,bk}。因此该变换f|V1连接了V1和V2两个空间。

至此我们证明了维数相等的子空间都是同构了。因此维数相等的子空间就可以分为一类。n维线性空间有维数为0,1,2，。。。，n的子空间，共n+1种。

Answer 2

因为可逆变换是双射