Question

如图,在等边三角形ABC中,AD垂直BC于D,以AD为一边向右作等边三角形ADE.DE与AC交于点F.

（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出证明；（2）若CF的长为2cm，试求等边三角形ABC的边长

Answer 1

(1DF=EF
)证明：因为三角形ABC是等边三角形
AD垂直BC
所以角ADC=90度
AD是等边三角形ABC的角平分线，中线
所以BD=CD=1/2BC
角1=角3=1/2角BAC
角BAC=60度
所以角3=30度
因为三角形ADE是等边三角形
所以角ADE=角3+角2=角DAE=60度
所以角2=30度
所以角2=角3=30度
所以AF是等边三角形ADE的角平分线
所以AF是等边三角形ADE的中线，垂线
所以角AFD=90度
DF=EF
(2)解：因为角ADC=角ADF+角CDF=90度（已证）
角ADF=60度
所以角CDF=30度
因为角AFD+角DFC=180度
所以角DFC=90度
所以在直角三角形DFC中，角DFC=90度，角CDF=30度
所以CF=1/2CD
因为CF=2
所以CD=4
因为CD=1/2BC（已证）
所以BC=8
因为BC是等边三角形ABC的边长
所以等边三角形ABC的边长是8

Answer 2

1. 证全等

   证：

   ∵AD⊥BC

   ∴∠ADC=90

   ∵△ADE是等边三角形

   ∴∠FDC=90-60=30

   ∵△ABC是等边三角形

   ∴∠C=60

   又∵∠C+∠CDF+∠DFC=180

   ∴∠DFC=90

   ∴∠AFD=∠AFE=90

   在△ADF和△AEF中

   ∠ADF=∠E

   ∠AFD=∠AFE=90

   AF=AF

   ∴△ADF≌△AEF

   ∴DF=EF

2.  

解：由(1)得

∠FDC=30，∠DFC=90

∵∠DFC=90

∴DF⊥CF

在Rt△DFC中

∠DFC=30

∴CF=1/2DC

∵CF=2

∴DC=4

在△ABC中

AB=AC，AD⊥BC

∴D是BC的中点

∴DC=1/2BC=8

∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=8+8+8=24

望采纳，谢谢