Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，

交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=1，BD=8，则BC=________
．

Answer 1

分析：由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=1，BD=8易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而根据PE长求出AE长及ED，DB长，再根据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．
解答：
解：∵PD=1，BD=8，
∴PB=PD+BD=9
由切割线定理得PA2=PD•PB=9
∴PA=3
又∵PE=PA
∴PE=3
又∠PAC=∠ABC=60°
∴AE=3
又由DE=PE-PD=2
BE=BD-DE=6
由相交弦定理可得：
AE•CE=BE•ED=3CE=12
即CE=4
∴AC=AE+CE=7
故答案：7．
(*^__^*) 嘻嘻~！希望帮到你哦~！

追问

那BC呢？

追答

先用切割线定理，AP^2=PD*PB=9,∴AP=3=EP，从而求出DE=2，BE=6
连接AD，则△ADP∽△BAP，∴AD/AB=PD/PA=1/3，∴AB=3AD，
又ABCD四点共圆，∴AD/BC=DE/BE=2/6，∴BC=3AD，∴AB=BC，又角ABC=60°
∴△ABC是等边三角形。
利用BE是△ABC的四等分点且为6来解△ABC。
可以用勾股定理，作BM⊥AC，交AC于M，设BC=x，ME=1/4x，BM=根号3/2x，斜边为BE=6，根据ME^2+BM^2=BE^2，求得x=29.25。
(*^__^*) 嘻嘻~！希望帮到你哦~！

Answer 2

解：
1，已知：PA是圆O的切线，且PD=1，BD=8，
则：PA=PD·PB=PD·(PD+BD)=1x(8+1)=9（切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。）
即：PA=3
2，已知：∠ABC=60°
则：∠PAG=∠ABC=60°（弦切角等于弦所对的圆周角）
3，已知：PE=PA，
则：ED=PE-PD=PA-PD=3-1=2，BE=BD-ED=8-2=6
且：∠PAE=∠PAE=60°（三角形中，等边对应的角相等），∠P=180°-∠PAE-∠PEA=60°（三角形内角和等于180度）
所以：⊿PAE是等边三角形（内角相等的三角形是等边三角形），
则：AE=PA=3（等边三角形各边相等）
4，又AE·EC=BE·ED（相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等）
则：EC=BE·ED/AE=6x2/3=4
5，在⊿BEC中，∠BEC=∠PAE=60°（对顶角相等）
则：BC²=BE²+EC²-2BE·ECcos60°=6²+4²-2x6x4x(1/2)=28（余弦定理）
即：BC=√28=2√7。
……
假如你没学过“余弦定理”，可以用勾股定理求得：
做CF⊥BE，交BE于F
在Rt⊿CEF中，已知∠BEC=60°，EC=4
则：∠ECF=30°，EF=(1/2)EC=2，CF²=EC²-EF²=4²-2²=12
在Rt⊿CBF中，BF=BE-EF=6-2=4
BC²=BF²+CF²=4²+12=28，即：BC=√28=2√7