Question

已知反比例函数y=k/x(x>0)的图象经过A(2,a),过点A作AB⊥于x轴,垂足为B,将线段AB沿x轴正方向平移

与反比例函数y=k/x(x>0)的图象相交于F(p,q).

(1)当F点恰好线段中点时，求直线AF的解析式（用含a的代数式表示）
（2）若直线AF分别与x轴，y轴交于点M,N，当q=-a²+5a时，令S=S△ANO+S△MFO（其中O是原点），求S的取值范围。

Answer 1

解：
(1)
∵点A（2，a）, F点为线段AB的中点，∴F点的纵坐标为a/2,即q=a/2;
∵点A，点F在反比例函数y=k/x上
∴2·a=q·(a/2), ∴q=4, ∴F点的坐标为（4，a/2）
∴直线AF的解析式为：y=-a/4X +3/2a
(2)∵F点（p,q）,q=-a^2+5a,且p·q=2a
∴p=2/(-a+5)
设直线AF的解析式为y=mx+n
则：a=2m+n
-a^2+5a=2/(-a+5)m+n
得：m=a(a-5)/2,n=-a^2+6a
直线AF的解析式为y=a(a-5)/2·X - a^2 + 6a
所以N点坐标为（0,-a^2+6a）,M点坐标为（2(a-6)/(a-5),0）
S=S△ANO + S△MFO
=1/2·ON·2 + 1/2·OM·(-a^2+5a)
=1/2·(-a^2+6a)·2 + 1/2·(2(a-6)/(a-5))·(-a^2+5a)
=-2a^2+12a
根据题意，F点的纵坐标应大于0且小于a,
∴0<-a^2+5a<a, ∴4<a<5
当a=4时，S＝16；当a=5时，S＝10
所以S的取值范围为：10<S<16