Question

已知点P是曲线y=lnx上的一个动点,则点P到直线l:y=x+2的距离的最小值为( )

Answer 1

设P(x0,y0)

点到直线距离公式
P到直线l:y=x+2的距离
=|x0-y0+2|/√2
=|x0-lnx0+2|/√2
设f(x)=x-lnx
f'(x)=1-1/x
=(x-1)/x
∵定义域是x>0
∴令f'(x)>=0
x>=1
∴f(x)的增区间是[1,+∞),减区间是(0,1)
∴f(x)在x=1有最小值
∴x0=1时
P到直线l:y=x+2的距离有最小值
最小值=|1-ln1+2|/√2=3√2/2
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