点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离
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点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x2-lnx的导数 y′=2x- 1/x=1，x=1，或 x=- 1/2（舍去），
故曲线y=x^2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于根号 2，
故点P到直线y=x-2的最小距离为 根号2，
故答案为 根号2．
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x2-lnx的导数 y′=2x- 1/x=1，x=1，或 x=- 1/2（舍去），
故曲线y=x^2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于根号 2，
故点P到直线y=x-2的最小距离为 根号2，
故答案为 根号2．
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所谓和直线的最小距离就是找到一点，使在该点的切线与已知直线平行，则二平行线间的距离就是P点至已知直线的最小距离，求出曲线的导函数，令其和直线的斜率相等，求出切点，再用距离公式，求出距离。
y'=2x-1/x,
直线斜率k=1，
2x-1/x=1,
2x^2-x-1=0,
(2x+1)(x-1)=0,
x1=-1/2,x2=1,
而由定义域得知x>0,故舍去-1，
y=1^2-ln1=1,
得P（1，1），
根据点线距离公式，
d=|1-1+2|/√（1^2+1^2)=√2，
∴点P到直线y=x+2的最小距离为√2。
以上是在直线和曲线相离时的方法 ，但相交，则为0。确实是有两个交点，故为0。
y'=2x-1/x,
直线斜率k=1，
2x-1/x=1,
2x^2-x-1=0,
(2x+1)(x-1)=0,
x1=-1/2,x2=1,
而由定义域得知x>0,故舍去-1，
y=1^2-ln1=1,
得P（1，1），
根据点线距离公式，
d=|1-1+2|/√（1^2+1^2)=√2，
∴点P到直线y=x+2的最小距离为√2。
以上是在直线和曲线相离时的方法 ，但相交，则为0。确实是有两个交点，故为0。
追问
那您结论就是0是吗
追答
提问题的人显然应该是想到直线和曲线是相离的情况，但他忽略了它们是相交的，若相交则最小距离是没有意义的，当然结论是0。
来自：求助得到的回答
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楼上的思路的顺序错了，首先要看看y=x^2-lnx和y=x+2有没有交点：
联列方程组，即：x^2-lnx=x+2，即：x^2-x-2=lnx
令y1=x^2-x-2，y2=lnx
两个草图都比较容易画出来，
y1=x^2-x-2与x轴的交点是（-1,0）和（2,0），而y2过点（1,0）
显然有交点，那么也就意味着y=x^2-lnx和y=x+2有交点，则最小距离为0；
如果数形结合做出没有交点，再去用切线平行的方法求出切点。。。
希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！
联列方程组，即：x^2-lnx=x+2，即：x^2-x-2=lnx
令y1=x^2-x-2，y2=lnx
两个草图都比较容易画出来，
y1=x^2-x-2与x轴的交点是（-1,0）和（2,0），而y2过点（1,0）
显然有交点，那么也就意味着y=x^2-lnx和y=x+2有交点，则最小距离为0；
如果数形结合做出没有交点，再去用切线平行的方法求出切点。。。
希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！
更多追问追答
追问
当点P为直线y=x+2平移到与曲线y=x^2-lnx相切的切点时，点P到直线y=x+2的距离最小设点P(x。，y。)f(x)=x^2-lnx,则f′(x。)=2x-1/x，所以2x。-1/x。=1，又x。﹥0,所以x。=1,所以点P的坐标为（1,1），此时点P到直线y=x+2的距离为2/√2=√2
这个是答案的解释
追答
显然错的
答案根楼上一样直接跳过了第一步，我的做法有不懂的地方吗？
事实上y1=x^2-x-2和y2=lnx的交点，
你画草图就知道有两个，一个横坐标在（0，1）上，另一个横坐标大于2；
跟你用作图软件画出来的交点位置差不多吧
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设曲线上的点为（x,x^2-lnx)，根据点到直线x-y+2=0的距离公式得
d=|x-x^2+lnx+2|/√2
即求函数f(x)=x^2-x-lnx-2的最值
求导得
f'(x)=2x-1-1/x=0
解得x=1
f(x)=-2
所以最小距离是√2，此时，x=1
d=|x-x^2+lnx+2|/√2
即求函数f(x)=x^2-x-lnx-2的最值
求导得
f'(x)=2x-1-1/x=0
解得x=1
f(x)=-2
所以最小距离是√2，此时，x=1
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追问
法一：取曲线y=x^2-lnx上任一点P（t,t^2-lnt）,P到直线y=x+2的距离为：【绝对值（t-t^2+lnt+2）】/（根2），发现分子可以为0（因为函数y=t^2-t+2与y=lnt有交点），则最小距离为0.
注：如果分子恒不为0（恒正或恒负），可以通过对y=t-t^2+lnt+2求导，找到极值点来完成解答。
法二：利用绘图软件，直接绘出曲线y=x^2-lnx与直线y=x+2，发现它们有交点，所以最小距离为0
这个不是答案
追答
请问分子为0时，x=?
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首先x^2-lnx=x+2 无交点：x^2-x-2= lnx 发现若是左边曲线和右边的直线有交点一定在（1，无穷），那么对y=x^2-x-2-lnx 求导，是2x-1-1/x ,发现有极值点x= （（根号下5）+1）/2, 将这个值带进y=x^2-x-2-lnx，发现是3，正的，言外之意就是没交点
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