Question

有关参数方程的一道题

圆(x-1)²+y²=r² (r>0) 与椭圆x=2cosθ,y=sinθ有公共点,求圆的半径r的取值范围?
我开始是这样做的. 由椭圆参数方程x=2cosθ,y=sinθ推出它的普通方程是x²/4+y²=1.再将这个方程代入圆方程得:(x-1)²+1-x²/4=r² →x²+4x-8+4r²=0,然后算出△=48-16r²≥0 故r≤3 .所以最终结果得出的是0<r≤3. 我知道这个答案是错的,但关键是我想知道这样做错在哪里? 谢了~

Answer 1

椭圆方程代入圆方程后应该是3x²-8x+8-4r²=0，而不是x²+4x-8+4r²=0，这样由△=16（3r²-2）≥0 得r≥√6/3。
但是这样做并不好，因为x，y都是有范围的（-2≤x≤2，-1≤y≤1）。最好是直接把参数方程代入圆方程得r² =3（cosθ）²-4cosθ+2=3（cosθ-2/3）²+2/3由于-1≤cosθ≤1，不难得到2/3≤r² ≤9，又因为r>0，所以√6/3≤r≤3

Answer 2

方程化简错误：
3x^2－8x＋8－4r^2＝0
△＝64－12(8－4r^2)≥0
得r≥根号6/3
另一方面，当r大于圆心到椭圆在x轴上的远端顶点时，即r＞3时椭圆在圆内，也无交点，故根号6/3≤r≤3时圆与椭圆有公共点