Question

已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC=DF．求证：（1

已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC=DF．求证：（1）∠DAF=∠CFB；（2）EF=12AB．

Answer 1

证明：（1）EF垂直平分AB，
∴AF=BF，AE=BE．
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D=∠C=90°．
在Rt△ADF和Rt△FCB中

AF＝FB DF＝CB

，
∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF=∠CFB；
（2）∵∠D=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CFB+∠DFA=90°，
∴∠AFB=90°．
∴△AFB是等腰直角三角形．
∵AE=BE，
∴EF=

1

2

AB．