Question

已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，

已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，证明：φ′(a+b2)≤φ′(a)+φ′(b)2≤φ′(2aba+b)．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝

1

2 x

，g′(x)＝

a

x

(x＞0)，
由已知得

x ＝alnx 1 2 x ＝ a x

解得a＝

e

2

，x＝e2，
∴两条直线交点的坐标为（e²，e），切线的斜率为k＝f′(e2)＝

1

2e

，
∴切线的方程为y?e＝

1

2e

(x?e2)
（Ⅱ）由条件知h(x)＝

x

?alnx(x＞0)，
∴h′(x)＝

1

2 x

?

a

x

＝

x ?2a

2x

（ⅰ）当a＞0时，令h'（x）=0，解得x=4a²，
∴当0＜x＜4a²时，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上递减；
当x＞4a²时，h'（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上递增
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，从而也是h（x）的最小值点
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2a（1-ln2a）
（ⅱ）当a≤0时，h′(x)＝

a ?2a

2x

＞0，h(x)在（0，+∞）上递增，无最小值，
故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a（1-ln2a）（a＞0）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知φ'（a）=-2ln2a
对任意的a＞0，b＞0

φ′(a)+φ′(b)

2

＝?

2ln2a+2ln2b

2

＝?ln4ab①φ′(

a+b

2

)＝?2ln(2?

a+b

2

)＝?ln(a+b)2≤?ln4ab②
φ′(

2ab

a+b

)＝?2ln(2?

2ab

a+b

)≥＝?2ln

4ab

2 ab

＝?ln4ab③
故由①②③得φ′(

a+b

2

)≤

φ′(a)+φ′(b)

2

≤φ′(

2ab

a+b

)．