Question

给定锐角三角形，求其内接三角形中周长最小者．

给出详解，谢谢！

Answer 1

分成几部分来证明：

1. 先在BC上任取一点D，固定D，求出以D为一个顶点△ABC的内接三角形中周长最小者。

作D关于AB 、AC的对称点D' 、D'' ，连D'D'' ，交 AB、AC于点F 、E，连DF、D'F、DE 、D''E，对于任一以D为一个顶点的△ABC的内接三角形DPQ ，连 QD'、QD 、PD'' 、PD，于是可证

DE+EF+FD=D'D≤D'Q+QP+PD''=DQ+QP+PD
．
即△DEF为固定点 后周长最小的内接三角形。

2.当点D在BC上运动时，对每一点D，都作出1中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值。

连AD 、 AD'、AD''，则AD=AD'=AD''，且∠D'AB=∠DAB ，∠D'AC=∠DAC ，于是 ．∠D'AD''=2∠A，所以D'D''=2ADsinA 。

当点D 在BC上运动时，以点D为BC边上高的垂足时AD 最小。

3.说明此时的最小三角形就是△ABC的垂足三角形。

由于D为BC边上的垂足．对于垂足三角形△DEF ，由∠DEC=∠AEF ，而∠DEC=∠CED''，故点E在DD''上，同理，F在 DD''上，即△DEF 为所求得的周长最小三角形．

Answer 2

分别作出三条高，三个垂足所连成的三角形即垂足三角形是内接三角形中周长最小者。
证明：
设三角形为ABC，
垂足分别为DEF，
坐D'与D关于AB对称，D'’与D关于AC对称,此时折线D'FED''是一条直线。（证明：
设CF,BE,AD交于O
有BFOD，AFOE四点共圆，且△BOD∽三角形AOE，得出OF平分∠DFE，同理可得，EO平分∠FED（O点为垂足三角形内心）
又因为∠BFD=∠D'FB,∠BFC=90,得出∠D'FE=180
同理∠D"EF=180,所以D'FED''四点共线）
而在三角形三边任取其他三点对称后组成的都是折线。

Answer 3

当然三遍中点连线组成的三角形啊