Question

某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，

某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，公司决定组织一次促销活动，促销期间该产品的售价单位y（元）与销售数量x（件）的函数关系如图所示．（1）求当10≤x≤50时，y与x之间的函数关系式．（2）设商家一次性购买这种产品m件，开发公司所获得的利润为z元，求z与m之间的函数关系式．（3）当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，是否存在随着一次性购买数量的增多，公司所获得的利润反而减少这种情况？若存在，求出在这种情况下，m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当10≤x≤50时，设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，
把点（10，3000）、（50，2600）代入解析式得：

10k+b＝3000 50k+b＝2600

，
解得：

k＝?10 b＝3100

，
故当y与x之间的函数关系式y=-10x+3100；

（2）当0＜x＜10时，y=3000，
则z=（y-2400）m=600m
当10≤x≤50时，y=-10m+3100，
则z=（y-2400）m=-10m²+700m；
当x＞50时，y=2600，
则z=（y-2400）m=200m，
故利润z与m的关系式为：

600m(0＜x＜10) ?10m2+700m(10≤x≤50) 200m(x＞50)

；

（3）当10≤x≤50时，则z=-10m²+700m=-10（m-35）²+12250，
∵-10＜0，故开口向下，
对称轴为m=35，
当35＜m＜50时，图象中随着m的增大，y值减小，
∴存在这种情况，此时35＜m＜50．