Question

四边形ABCD是边长为2的菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，AG⊥AB，分别交DB、CD于点E、F，连接CE．若AE

四边形ABCD是边长为2的菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，AG⊥AB，分别交DB、CD于点E、F，连接CE．若AE=2EF，求EF长．

Answer 1

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=CD，∠ADE=∠CDB；
∴∠DAE=∠G，
在△ADE和△CDE中，

AD＝CD ∠ADE＝∠CDB DE＝DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE．
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴

EF

EC

=

EC

EG

，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴

EF

AE

=

AE

EG

=

1

2

，CE=2EF
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．
∵AB∥CD，AG⊥AB，
∴∠EFC=90°，
∴∠DCE=∠G=30°，
∴BG=2AB，∠ECG=90°
∴CG=AB=BC=2，
∴EC²+CG²=EG²，
∴（2EF）²+2²=（3EF）²，
解得EF=

2 5

5

．