Question

AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，且PC=PD．（1）判断PC与⊙O的位置关系

AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，且PC=PD．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并证明你判断．（2）过A点作AE⊥PC于E，连接BC，若AE=4，⊙O的半径为3，求cos∠APE的值．

Answer 1

解答：解：（1）PC与⊙O相切．
证明：连接OC，OD，
∵PC=PD，OC=OD，OP=OP，
∵△OCP≌△ODP，
∴∠OCP=∠ODP，
又∵PD是⊙O的切线，
∴∠ODP=90°，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；

（2）连接AC，AE∥OC，AE交⊙O于F，
∵∠EAC=∠OCA=∠CAB，又∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴CA：AB=AE：AC，AC²=AB?AE=6×4=24，
EC²=AC²-AE²=8，EC=2

2

，
设AE交⊙O于点F，连BF，则BF=2CE=4

2

，cos∠APE=cos∠ABF=

BF

AB

=

2 2

3

．