Question

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[m2+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

a(1?x)

x

，
当a＜0时，令f′（x）=

a(1?x)

x

＞0，即

1?x

x

＜0，解得增区间为（1，+∞），
减区间为（0，1）；
当a＞0时，令f′（x）=

a(1?x)

x

＞0，即

1?x

x

＞0，解得增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
当a=0时，f（x）不是单调函数；
（II）∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）=

a(1?2)

2

=tan45°=1，
∴a=-2，
f′（x）=

?2(1?x)

x

＝

2(x?1)

x

，
g（x）=x³+x²（

m

2

+

2(x?1)

x

）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2＜0，要使函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值，
只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得-

37

3

＜m＜-9；