Question

已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f

已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围；（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]
∴函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减
∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数
∴a≥2
∴函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]_max=f（1），[f（x）]_min=f（a）
∵对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
∴要使对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4则必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a²-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解
∴2a=

x2+5

x

＝x+

5

x

在x∈[1，3]上有实数解
令g（x）=x+

5

x

则g（x）在[1，

5

]单调递减，在（

5

，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=

14

3

∴2

5

≤g（x）≤6
∴2

5

≤2a≤6
∴

5

≤a≤3