Question

1³＋2³＋3³＋…＋n³＝？ 求详解多谢！

Answer 1

(1+2+……+n)^2

追答

(1/4)n^3(n+1)^2

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2.证明1^3+2^3+3^3+……n^3=（1+2+3+………n)^2=（1/4）n^2（n+1）^2成立
1.证明1^2+2^2+3^2+……n^2=（1/6）*n(n+1)(2n+1)成立
2.证明1^3+2^3+3^3+……n^3=（1+2+3+………n)^2=（1/4）n^2（n+1）^2成立
提问者：hzfy63205086
追问：
第一小题就是要证明左边为什么等于右边，这样的答案无意义，我要求的是在右边答案未知情况下，解出各式
补充：
1.(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：
　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
　　..............................
　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
　　把这n个等式两端分别相加，得：
　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
　　代入上式得：
　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
　　整理后得：
　　1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

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回答
1.先验证n=1,2,3......时，等式成立。
假设n=k时，等式成立，则n=k+1时，证明等式同样成立，则命题得证。
也就是如果1^2+2^2+3^2…+k^2=(1/6)k(k+1)(2k+1)成立，则
1^2+2^2+3^2…+k^2+(k+1)^2=(1/6)k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2=(1/6)(k+1)(k+2)(2k+3)
所以，该公式成立。

2.
用数学归纳法证：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，等式成立，
即1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…k^3=k^2×(k+1)^2/4
③当n=k+1时，
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…k^3+(k+1)^3
=k^2×(k+1)^2/4+(k+1)^3
=(k+1)^2*(1/4*k^2+k+1)
=(k+1)^2*(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2×(k+2)^2/4
所以成立。
综上所述，1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n^2×(n+1)^2/4