Question

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为______．

Answer 1

根据题意作出图形： 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O 1 ，则OO 1 ⊥平面ABC， 延长CO 1 交球于点D，则SD⊥平面ABC． ∵ C O 1 = 2 3 × 3 2 = 3 3 ， ∴ O O 1 = 1 2 -( 3 3 ) 2 = 6 3 ， ∴高SD=2OO 1 = 2 6 3 ， ∵△ABC是边长为1的正三角形， ∴ S △ABC = 3 4 ， ∴V 三棱锥S-ABC = 1 3 × 3 4 × 2 6 3 = 2 6 ． 故答案为 2 6 ．