Question

在△ABC中，∠C=90°，a,b,c 分别为三角形三边，a-b=2 ，b:c=3:5,且方程x²

-2(k+1)x+k²-12=0两实根的平方和是三角形ABC斜边的平方，求k的值。

Answer 1

设b=3X(X>0)，则c=5X，
∴a=2+3X，
根据勾股定理得：
25X²=4+12X+9X²+9X²
7X²-12X-4=0
(7X+2)(X-2)=0，
X=2(负值舍去)，
∴a=8，b=6，c=10。
设方程两根为X1、X2，
Δ=4(K+1)²-4(K²-12)=8K+52>≥0，得：K≥13/2，
X1+X2=2(K+1)，X1*X2=K²-12，
∴X1²+X2²=(X1+X2)²-2X1*X2
=4(K+1)²-2(K²-12)
=2K²+8K+28=100，
K²+4K-72=0，
(K-4)(K+18)=0，
K=4或K=-18(舍去)，
∴K=4。