Question

哪位高人指导一道数学题：求证：1+1/2²+1/3²+...+1/n²<2 谢谢了

n为N+

Answer 1

解：此类题目经常用到放缩公式：1/n-1/(n+1)1/[n(n+1)]＜1/n²＜1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n

故：1/2²＜1-1/2
1/3²＜1/2-1/3
1/4²＜1/3-1/4
……
1/n²＜1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
故：1+1/2²+1/3²+...+1/n²＜1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2

Answer 2

2的平方+3的平方....+N的平方大于1
所以1/2的平方+1/3的平方+...N的平方小于1
所以求证的结果就有了
看着比较乱，我不会弄那个平方的符号

Answer 3

证明：用放缩法。
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/n^2
<1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n-1)n
=1+[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-2)-1/(n-1)+1/(n-1)-1/n]
=1+(1-1/n)
=2-1/n
n>0 1/n>0 2-1/n<2

1+[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-2)-1/(n-1)+1/(n-1)-1/n]<2

1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/n^2<2