Question

设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P θ2 2θ（1-θ） θ2 1-2θ其中θ（0＜θ＜12）是未知参数，利用

设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P θ2 2θ（1-θ） θ2 1-2θ其中θ（0＜θ＜12）是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计和最大似然估计值．

Answer 1

EX=0×θ²+1×2θ（1-θ）+2×θ²+3×（1-2θ）=3-4θ，
故：θ＝

1

4

(3?EX)，
θ的矩估计量为：

?

θ

＝

1

4

(3?

.

X

)，
根据给定的样本观察值计算：

.

x

＝

1

8

(3+1+3+0+3+1+2+3)=2，
因此θ的矩估计值为：

?

θ

＝

1

4

(3?

.

x

)＝

1

4

．
对于给定的样本值，
似然函数为：L（θ）=4θ⁶（1-θ）²（1-2θ）⁴，
取对数可得：
lnL（θ）=ln4+6lnθ+2ln（1-θ）+4ln（1-2θ），
从而：

dlnL(θ)

dθ

＝

6

θ

?

2

1?θ

?

8

1?2θ

＝

24θ2?28θ+6

θ(1?θ)(1?2θ)

，
令：

dlnL(θ)

dθ

＝0，
得方程：12θ²-14θ+3=0，
解得：θ＝

7? 13

12

（θ＝

7+ 13

12

＞

1

2

，不合题意），
于是θ的最大似然估计值为：

?

θ

＝

7? 13

12

．