Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：（1）平面AMD ∥ 平面BPC；（

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：（1）平面AMD ∥ 平面BPC；（2）平面PMD⊥平面PBD．

Answer 1

证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB ∥ MA．因PB?平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA ∥ 平面BPC．同理DA ∥ 平面BPC，因为MA?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD ∥ 平面BPC．（6分） （2）连接AC，设AC∩BD=E，取PD中点F，连接EF，MF． 因ABCD为正方形，所以E为BD中点． 因为F为PD中点，所以EF ∥ . . 1 2 PB．因为AM ∥ . . 1 2 PB，所以AM ∥ . . EF． 所以AEFM为平行四边形．所以MF ∥ AE．因为PB⊥平面ABCD，AE?平面ABCD， 所以PB⊥AE．所以MF⊥PB． 因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD． 所以MF⊥平面PBD．又MF?平面PMD． 所以平面PMD⊥平面PBD．（14分）