Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x 2 的图象记为抛物

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x 2 的图象记为抛物线l 1 。
（1）平移抛物线l 1 ，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：______ （任写一个即可）；（2）平移抛物线l 1 ，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l 2 ，如图2，求抛物线l 2 的函数表达式；（3）设抛物线l 2 的顶点为C，K为y轴上一点，若S △ABK =S △ABC ，求点K的坐标；（4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l 2 上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）有多种答案，符合条件即可， 例如 等； （2）设抛物线l 2 的函数表达式为 ， ∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l 2 上， ∴ ，解得 ， ∴抛物线l 2 的解析式为 ； （3） ， ∴C点的坐标为 ， 过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F， 则AD=2， ， ∴ = ， 延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx+n， ∵点A（1，2），B（3，1）在直线AB上， ∴ ，解得 ， ∴直线AB的函数解析式为 ， ∴点G的坐标为 ， 设点K的坐标为（0，h），分两种情况： 若点K位于g点的上方，则KG=h- ， 连结AK，BK， ， ∵ ， ∴ ，解得 ， ∴K点的坐标为 ， 若K点位于G点的下方，则KG= ， 同理可得，h= ， ∴K点的坐标为 ； （4）作图痕迹如图③所示，由图③可知，点共有3个可能的位置。