Question

如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为l1

如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为l1．（1）沿y轴向下平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，写出平移后的抛物线的解析式；（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图（2），求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；（3）抛物线l2上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请在图（2）中画出来，并简要说明画法；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线l₁的解析式为：y=-x²-h，
由题意知：-1-h=-2，h=1；
∴抛物线l₁：y=-x²-1．

（2）设l₂的解析式为y=-x²+bx+c，
联立方程组，

?2＝?1+b+c ?1＝?9+3b+c

，
解得b=

9

2

，c=-

11

2

，
则，l₂的解析式为y=-x2+

9

2

x?

11

2

．
点C的坐标为（

9

4

，?

7

16

）．

（3）若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q₁，Q₂；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q₃，Q₄，则Q₁、Q₂、Q₃、Q₄为所求的可能的位置．