Question

（2014?安庆二模）如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D．（1）证明

（2014?安庆二模）如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D．（1）证明：直线PB是⊙O的切线；（2）若BD=2PA，OA=3，PA=4，求BC的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又　OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POB=∠POA．
在△POB与△POA中，

OB＝OA ∠POB＝∠POA PO＝PO

，
∴△POB≌△POA（SAS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵△POB≌△POA，
∴PB=PA．
∵BD=2PA，
∴BD=2PB．
∵BC∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴

BC

PO

＝

BD

PD

＝

2

3

，
∴BC=

2

3

PO=

2

3

32+42

＝

10

3

．